数学-线性方程组思维导图模板

线性方程组

解的情况的判别

AX=B

唯一解

r(A|β)=r(A)=n

满秩且可一一对应，解唯一

当A是方阵时，可推出克莱姆法则

无穷多解

r(A|β)=r(A)

可一一对应但未满秩(说明组内有向量可被极大无关组表示)，解不唯一

方程的个数m是上界

r(A)=m时，AX=B一定有解

当m

无解

r(A|β)>r(A)

增广矩阵存在无对应部分，无解

AX=0

A列满秩

AX=0只有0解

r(AB)=r(B)

C矩阵法B=AC中，B,C秩相同

在矩阵乘法中有左消去律

通解的构造

AX=0

解集的性质

任何一组解的任意线性组合还是解

基础解系

解集的最大无关组

通解

当n1,n2,...ns是AX=0的基础解系时，AX=0的通解为c1n1+c2n2+…csns,ci任意

解集的秩

r=n-r(A)

判别一组向量是否为AX=0的基础解系

该组向量是AX=0的一组解

n1,n2,...ns线性无关

s=n-r(A)

如果AB=0，n为A的列数(B的行数)，则r(A)+r(B)<=n

AX=B

通解的性质

AX=B的两个解的差是AX=0的解

若a是AX=B的解，b是AX=0的解，则a+b是AX=B的解

通解

a+c1n1+c2n2+…csns，ci可取任何常数。
其中a是AX=B的解，n1,...ns是AX=0的基础解系

非齐次通解=齐次通解+非齐次特解

当非齐次方程AX=有解时，其解集的秩为n-r(A)+1

应用与联系

属于n阶矩阵A的特征值入的特征向量就是齐次方程组(A-λE)X=0的非零解

属于特征值λ的线性无关特征向量组包含特征向量的个数=n-r(A-λE)